有关积分中值定理的

设$f(x)$为$[a,b]$上的连续严格递增的非负函数.由积分中值定理,$\forall$$n$$\epsilon$$N$,$\exists$${x}_{n}$$\in$$[a,b]$,
使${f}^{n}$$({x}_{n})$$=$$\cfrac{1}{b-a}$$\int_{a}^{b}$${f}^{n}$$(x)$$dx$.求$\lim\limits_{n \to ∞}$${x}_{n}$.
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先证明一个结论,也是数学分析课程经常做到的一个习题。

对于$[a,b]$上的连续非负函数$f(x)$,有$\lim\limits_{n\to\infty}(\int_{a}^{b}f^n(x)dx)^{1/n}=\max\limits_{x\in[a,b]}f(x)$

证明过程如下。

设$X_n=(\int_{a}^{b}f^n(x)dx)^{1/n}$,$M=\max\limits_{x\in[a,b]}f(x)$,$$这里不妨$M$是正数。

显然有$X_n\le M(b-a)^{1/n}$

得到 $\limsup\limits_n X_n\le M$

另一方面,对任意$\epsilon>0$,不妨$\epsilon<M/2$

存在区间$[c,d]\subseteq[a,b]$,使得当$x\in[c,d]$有

$f(x)>M-\epsilon$

于是有$X_n\ge(\int_{c}^{d}f^n(x)dx)^{1/n}\ge (M-\epsilon)(d-c)^{1/n}$

于是得到 $\liminf\limits_n X_n\ge M-\epsilon$,

再由$\epsilon$ 的任意性,$\liminf\limits_n X_n \ge M$

于是$M\le\liminf\limits_n X_n\le\limsup\limits_n X_n\le M$

得到$X_n\to M,n\to\infty$



回到原题。

因为$f(x_n) = \dfrac{1}{(b-a)^{1/n}}(\int_{a}^bf^n(x)dx)^{1/n}$

于是由上面的结论,$\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n) = \max{f(x)} = f(b)$

得到$x_n\to b,n\to\infty$

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