一个Lebesgue积分问题

若$f,g$为可测集$E$上的非负可测函数,且
\begin{equation}
mE[f≥a]=mE[g≥a],\forall a\in R
\end{equation}
如何不利用简单函数证明
\begin{equation}
\int_E f(x) dx=\int_E g(x) dx
\end{equation}
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我是大好人

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这是一个关于截集(注:$A_\alpha=\{x,A(x)≥\alpha\}$,则称$A_\alpha$是$A$关于$\alpha$的截集)的问题,相关问题不只在实函数理论。下面证明该定理,首先
\begin{equation}
\int_E f(x) dx=\lim_{\delta\to0}\sum_{k=0}^{k=n}y_kmE[y_{k+1}≥f≥y_k];
\end{equation}
\begin{equation}
\int_E g(x) dx=\lim_{\delta\to0}\sum_{k=0}^{k=n}y_kmE[y_{k+1}≥g≥y_k];
\end{equation}
又因为已知条件,容易得到$mE[y_{k+1}≥f≥y_k]=mE[y_{k+1}≥g≥y_k]$所以得证。
开头的极限的由来可参考那汤松的《实变函数论》勒贝格积分第一节
本题是个很意义深远的东西,模糊数学有个分解定理$A=\bigcup_{\alpha}\alpha A_\alpha$
其中这个$A_\alpha=\{x,A(x)≥\alpha\}$,所以所有的截集唯一确定了$A$,相应问题同样出现在很多领域,就不详述了

妖儿心

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层饼定理

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