证明分析里的一个存在性

设$[0,1$]间的有理数全体为$r_{1},r_{2},r_{3},……$
对任意$\varepsilon>0$,(不妨设$\varepsilon$充分小),作:$E_{i}=(r_{i}-\cfrac{\varepsilon}{{2}^{i+1}},r_{i}+\cfrac{\varepsilon}{{2}^{i+1}})$.
构造证明存在$x\in[0,1]-\cup E_{i}$
已邀请:

Math001

赞同来自:

首先,有理数能写成$r_1,r_2,r_3,\cdots$序列,这个双射的存在,是构造性的。
所以,最后那个集合具体什么样,依赖这个序列的具体的构造。


令$U_i=\bigcup\limits_{1\le k\le i}E_i$,因为每个$E_i$是确定的,于是$U_i$确定。
那么那些属于$U_i$也是确定的。于是这是取$p_i\not\in U_i$

这个时候每个$p_i$都能通过具体的构造确定的(这里甚至可以$p_i\in\mathbb{Q}$)。

最后,在一个确定的序列里找收敛子列,让他收敛于$p$,这个$p$就是所求。

具体构造的operator,如果有兴趣,你可以用程序代码写一下,可能会很复杂。

妖儿心

赞同来自:

正测集当然非空

要回复问题请先登录注册