关于Dini导数的一个问题

是否存在闭区间上的函数,满足以下条件:
1.单调。
2.存在某一点,四个Dini导数都存在且有限,但是单侧导数不存在。

Dini导数:左上,左下,右上,右下导数。
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还是用分形的思想吧。

做函数$f(x)=\begin{cases}3x&0\le x< \dfrac{1}{4}\\x+\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{4}\le x< \dfrac{1}{2}\end{cases}$

这个函数单调连续,右端点极限$1$,最小值$0$

定义$g(x)=\begin{cases}2-\dfrac{1}{2^{n-2}}+\dfrac{1}{2^{n-1}}f(2^{n-1}(x-1+\dfrac{1}{2^{n-1}}))&x\in[1-\dfrac{1}{2^{n-1}},1-\dfrac{1}{2^{n}})\\2&x=1\end{cases}$

于是$g(x)$满足条件单调,且在$x=1$出左上导数和坐下导数不等。

左上导数和左下导数得存在性还是显然的。要得到原问题四个,只需要做适当的中心对称的操作就可以了。

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