连续函数的极限

$\{{a}_{n}\}$是递增到$\infty$的正数列
且满足$\lim\limits_{n \to \infty}{a}_{n+1}/{a}_{n}=1$
$f:(0,\infty)→R$连续
$\forall x\in(0,\infty)$,$\lim\limits_{n \to \infty}f({a}_{n}x)=0$
求证:$\lim\limits_{x \to \infty}f(x)=0$
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取$\epsilon>0$

设$F_n=\{x:\forall k\ge n,|f(a_kx)|\le\epsilon\}$

因为$f$连续,于是$F_n$是闭集。

由贝尔纲定理,存在$m$,使得$F_m$包含区间。

设这个开区间为$(r-\delta,r+\delta)$,$\delta>0$

令$M=r\cdot a_l$,$l$满足条件:$\forall k\ge l$,$a_k>\max\{a_m,\dfrac{1}{\delta}\}$且$\left|\dfrac{a_{k+1}}{a_k}-1\right|<\dfrac{\delta}{2r}$

对$x>M$ ,取正整数$p_x$,满足$ra_{p_x}\le x<ra_{p_x+1}$

于是 将$x$写成$x=ra_{p_x}+\gamma$, $0\le \gamma<r(a_{p_x+1}-a_{p_x})$

注意到$p_x\ge l$,于是$r+\dfrac{\gamma}{a_{p_x}}\in(r-\delta,r+\delta)$

得到$\left|f(x)\right| =\left|f(a_{p_x}(r+\dfrac{\gamma}{a_{p_x}}))\right|\le\epsilon $

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