一道坑坑的多项式证明

设$f(x)$是有理数域上的$n$次多项式,并且它在有理数域上不可约,但知$f(x)$的一根的倒数也是$f(x)$的根,证明:$f(x)$每一根的倒数也是$f(x)$的根
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设 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$,
因为 $f(x)$ 在有理数域上不可约, 故 $a_0\neq 0$.
令 $\varphi(x)=a_n+a_{n-1}x+\cdots +a_1x^{n-1}+a_0x^n$,
设 $\alpha$ 与 $\frac 1 \alpha$ 是 $f(x)$ 的根, 故有
$a_n+a_{n-1}\alpha+\cdots +a_1\alpha^{n-1}+a_0\alpha^n=0$.
又 $\alpha$ 为 $f(x)$ 的根, $f(x)$ 不可约, 故 $f(x)|\varphi(x)$,
设 $\beta (\neq 0)$ 是 $f(x)$ 的任一根, 则 $\varphi(\beta)=0$,
即 $a_n+a_{n-1}\beta+\cdots +a_1\beta^{n-1}+a_0\beta^n=0$,
$\Rightarrow\ a_n(\frac 1 \beta)^n+a_{n-1}(\frac 1 \beta)^{n-1}+\cdots +a_1\frac 1 \beta+a_0=0$,
从而 $\frac 1 \beta$ 为 $f(x)$ 的根.

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