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Math001
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poorich
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Math00000
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Math001
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回到原问题,即是证明
$(n+1)^n<e^n\cdot n!<(n+1)^{n+1}$
$n=1$时,显然成立
设$n=k$是,成立,即是说$(k+1)^k<e^k\cdot k!<(k+1)^{k+1}$
则$n=k+1$有
$e^{k+1}\cdot(k+1)!= e^k\cdot k!\cdot e(k+1)>(k+1)^k\cdot e(k+1)$
$=e(k+1)^{k+1}\ge(1+\dfrac{1}{k+1})^{k+1}(k+1)^{k+1}=(k+2)^{k+1}$
另一方面
$e^{k+1}\cdot(k+1)!= e^k\cdot k!\cdot e(k+1)<(k+1)^{k+1}\cdot e(k+1)$
$=e(k+1)^{k+2}\le(1+\dfrac{1}{k+1})^{k+2}(k+1)^{k+2}=(k+2)^{k+2}$
于是,由归纳法,对所有正整数$n$成立。
poorich
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\begin{align}
{\left( {\frac{2}{1}} \right)^1} < &e < {\left( {\frac{2}{1}} \right)^2},\\
{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} < &e < {\left( {\frac{3}{2}} \right)^3},\\
\cdots&\cdots\\
{\left( { \frac{n+1}{n}} \right)^n} < &e < {\left( {\frac{n+1}{n}} \right)^{n + 1}},
\end{align}
连乘得到$\cfrac{(n+1)^n}{n!}<e^n<\cfrac{(n+1)^{n+1}}{n!},$ 改一改$,$ 嗯$\dots$
$\cfrac{(n+1)^n}{e^n}<n!<\cfrac{(n+1)^{n+1}}{e^n}
\Rightarrow
\left(\cfrac{n+1}{e} \right)^n<n!<e\left(\cfrac{n+1}{e} \right)^{n+1}.$
Math00000
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