你的浏览器禁用了JavaScript, 请开启后刷新浏览器获得更好的体验!
输入关键字进行搜索
搜索:
没有找到相关结果
Math001
赞同来自: 黄徐升 、ゞ灬若心╰→ 、大佬蒋 、钥匙呀
poorich
赞同来自: 王学银 、黄徐升 、曼斯拉乌 、钥匙呀
Math00000
赞同来自: 格罗滕迪克
要回复问题请先登录或注册
3 个回复
Math001
赞同来自: 黄徐升 、ゞ灬若心╰→ 、大佬蒋 、钥匙呀
回到原问题，即是证明
$(n+1)^n<e^n\cdot n!<(n+1)^{n+1}$
$n=1$时，显然成立
设$n=k$是，成立，即是说$(k+1)^k<e^k\cdot k!<(k+1)^{k+1}$
则$n=k+1$有
$e^{k+1}\cdot(k+1)!= e^k\cdot k!\cdot e(k+1)>(k+1)^k\cdot e(k+1)$
$=e(k+1)^{k+1}\ge(1+\dfrac{1}{k+1})^{k+1}(k+1)^{k+1}=(k+2)^{k+1}$
另一方面
$e^{k+1}\cdot(k+1)!= e^k\cdot k!\cdot e(k+1)<(k+1)^{k+1}\cdot e(k+1)$
$=e(k+1)^{k+2}\le(1+\dfrac{1}{k+1})^{k+2}(k+1)^{k+2}=(k+2)^{k+2}$
于是，由归纳法，对所有正整数$n$成立。
poorich
赞同来自: 王学银 、黄徐升 、曼斯拉乌 、钥匙呀
\begin{align}
{\left( {\frac{2}{1}} \right)^1} < &e < {\left( {\frac{2}{1}} \right)^2},\\
{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} < &e < {\left( {\frac{3}{2}} \right)^3},\\
\cdots&\cdots\\
{\left( { \frac{n+1}{n}} \right)^n} < &e < {\left( {\frac{n+1}{n}} \right)^{n + 1}},
\end{align}
连乘得到$\cfrac{(n+1)^n}{n!}<e^n<\cfrac{(n+1)^{n+1}}{n!},$ 改一改$,$ 嗯$\dots$
$\cfrac{(n+1)^n}{e^n}<n!<\cfrac{(n+1)^{n+1}}{e^n}
\Rightarrow
\left(\cfrac{n+1}{e} \right)^n<n!<e\left(\cfrac{n+1}{e} \right)^{n+1}.$
Math00000
赞同来自: 格罗滕迪克