证明不等式$[(n+1)/e]^{n}<n!<e[(n+1)/e]^{n+1}$

证明不等式:$(\cfrac{n+1}{e})^{n} < n! < e(\cfrac{n+1}{e})^{n+1}$
这是数学分析教程1.6自然对数的底数的一个习题
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注意到对任意正整数$m$有$(1+\dfrac{1}{m})^m\le e\le (1+\dfrac{1}{m})^{m+1}$。

回到原问题,即是证明

$(n+1)^n<e^n\cdot n!<(n+1)^{n+1}$

$n=1$时,显然成立

设$n=k$是,成立,即是说$(k+1)^k<e^k\cdot k!<(k+1)^{k+1}$

则$n=k+1$有

$e^{k+1}\cdot(k+1)!= e^k\cdot k!\cdot e(k+1)>(k+1)^k\cdot e(k+1)$

$=e(k+1)^{k+1}\ge(1+\dfrac{1}{k+1})^{k+1}(k+1)^{k+1}=(k+2)^{k+1}$

另一方面

$e^{k+1}\cdot(k+1)!= e^k\cdot k!\cdot e(k+1)<(k+1)^{k+1}\cdot e(k+1)$

$=e(k+1)^{k+2}\le(1+\dfrac{1}{k+1})^{k+2}(k+1)^{k+2}=(k+2)^{k+2}$

于是,由归纳法,对所有正整数$n$成立。
由${\left( {1 + \cfrac{1}{n}} \right)^n} < e < {\left( {1 + \cfrac{1}{n}} \right)^{n + 1}},$ 我们反正很闲$,$ 来连写 $n$ 个式子练一练书法$:$
\begin{align}
{\left( {\frac{2}{1}} \right)^1} < &e < {\left( {\frac{2}{1}} \right)^2},\\
{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} < &e < {\left( {\frac{3}{2}} \right)^3},\\
\cdots&\cdots\\
{\left( { \frac{n+1}{n}} \right)^n} < &e < {\left( {\frac{n+1}{n}} \right)^{n + 1}},
\end{align}
连乘得到$\cfrac{(n+1)^n}{n!}<e^n<\cfrac{(n+1)^{n+1}}{n!},$ 改一改$,$ 嗯$\dots$
$\cfrac{(n+1)^n}{e^n}<n!<\cfrac{(n+1)^{n+1}}{e^n}
\Rightarrow
\left(\cfrac{n+1}{e} \right)^n<n!<e\left(\cfrac{n+1}{e} \right)^{n+1}.$

Math00000

赞同来自: 格罗滕迪克

利用不等式 1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n

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