额,一个极限的证明

若当n$\to\infty$时,数列$a_n(n\ge1)$和$b_n(n\ge1)$分别有极限$\alpha$和$\beta$,求证$\lim\limits_{n\to\infty}=\frac{a_1b_n+a_2b_{n-1}+\dots+a_nb_1}{n}=\alpha\beta$
已邀请:
令 $c_n=a_n-\alpha$, $d_n=b_n-\beta$, 那么 $\lim\limits_{n\to\infty}c_n=\lim\limits_{n\to\infty}d_n=0$.

设 $M>1$ 是序列 $|c_n|+|d_n|$ 的一个上界. 对任何 $\epsilon\in(0,1)$, 存在正整数 $N$, 当 $n>N$ 时 $|c_n|<\epsilon/M$, $|d_n|<\epsilon/M$. 那么当 $n>2N$ 时,
$\biggl|\dfrac{c_1d_n+\dotsb+c_nd_1}{n}\biggr|\leq\dfrac{N\epsilon+(n-2N)\epsilon^2+N\epsilon}{n}<\epsilon$.
由此得到
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{c_1d_n+\dotsb+c_nd_1}{n}=0$.

接下来就好办了,
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{c_1b_n+\dotsb+c_nb_1}{n}
=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{c_1d_n+\dotsb+c_nd_1}{n}+\beta\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{c_1+\dotsb+c_n}{n}=0$,

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_1b_n+\dotsb+a_nb_1}{n}
=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{c_1b_n+\dotsb+c_nb_1}{n}+\alpha\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{b_1+\dotsb+b_n}{n}=\alpha\beta$.

poorich

赞同来自: 元始天尊

接楼上第一行后面$,$ 可以这么替换$2\thicksim 6$行$——$

由$Cauchy-Schwarz$不等式
$0\leqslant\left(\dfrac{c_1b_n+\dots+c_nb_1}{n}\right)^2\leqslant
\left(\dfrac{c_1^2+\dots+c_n^2}{n}\right)\left(\dfrac{b_n^2+\dots+b_1^2}{n}\right)\rightarrow 0$
这是因为 $\lim\limits_{n\to\infty} \left(\dfrac{c_1^2+\dots+c_n^2}{n}\right)\left(\dfrac{b_n^2+\dots+b_1^2}{n}\right)=
\lim\limits_{n\to\infty}c_n^2\cdot\lim\limits_{n\to\infty}d_n^2=0$

所以 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{c_1b_n+\dots+c_nb_1}{n}=0$

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