关于非齐次方程有解的一个等价命题

设$A$为$m\times n$矩阵,证明:非齐次方程组$Ax=b$有解的充分必要条件是若$A^Ty=0$,则$b^Ty=0$
必要性显然,求助充分性
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必要性显然。只证明充分性。

考虑增广矩阵$[A:b]$,令$K=[A:b]^T=\left[\begin{matrix}A^T\\b^T\end{matrix}\right]$

则,一方面,显然有$r(A)\le r([A:b])$

另一方面,$A^Tx=0$的解也是$Kx=0$的解。

说明$m-r(A^T)\le m-r(K)$,得到$r(A)\ge r(K)=r([A:b])$

所以$r(A)= r([A:b])$

说明方程有解。
存在可逆矩阵 $P$, $Q$ 使得
$\tilde A=P^{-1}AQ=\begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.$
利用变量代换 $\tilde x=Q^{-1}x$, $\tilde b=P^{-1}b$, $\tilde y=P^Ty$, 问题转化为
非齐次方程组 $\tilde A\tilde x=\tilde b$ 有解的充分必要条件是若 $\tilde A^T\tilde y=0$,则 $\tilde b^T\tilde y=0$.
既然 $\tilde A$ 的形式已经如此简单, 接下去就容易了.
充分性: 若 $\tilde A\tilde x=\tilde b$ 无解, 则存在 $i>r$ 使得 $\tilde b$ 的第 $i$ 个分量非零, 取 $\tilde y$ 为 $m$ 阶单位阵的第 $i$ 列即得矛盾.

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