望各位求解一道积分不等式!

设$f(x)$在$[a,b]$上有二阶连续导数,且$f(a)=f(b)=0$,$M=\max \limits_{[a,b]}|f''(x)|$,能否利用泰勒公式证明:$|\int_a^bf(x)dx|\leqslant \frac{\displaystyle(b-a)^3}{\displaystyle12}M$.???
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一般的结论是存在 $\xi\in(a,b)$
$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)-\frac{f''(\xi)}{12}(b-a)^3$
并且不需要二阶导数的连续性.

记 $F(t)=\int_a^t f(x)\,dx$, $h=b-a$.
由带积分型余项的 Taylor 公式得
$\displaystyle F(c)=F(b)-\frac{f(b)}{2}h+\frac{f'(b)}{8}h^2+\frac{1}{2}\int_b^cf''(x)(c-x)^2\,dx,$
$\displaystyle F(c)=F(a)+\frac{f(b)}{2}h+\frac{f'(b)}{8}h^2+\frac{1}{2}\int_a^cf''(x)(c-x)^2\,dx.$
相减得
$\displaystyle F(b)-F(a)=\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)-\frac{h^2}{8}\int_a^bf''(x)\,dx+\frac{1}{2}\int_a^bf''(x)(c-x)^2\,dx.$
把两个积分项合并并利用积分中值定理得
$\displaystyle \frac{1}{8}\int_a^bf''(x)[h^2-4(c-x)^2]\,dx=\frac{f''(\xi)}{8}\int_a^b[h^2-4(c-x)^2]\,dx=\frac{f''(\xi)}{12}h^3,$
注意中括号里的部分保持同号, 所以才能用中值定理.
这个做法虽然离一般的结论还有点距离, 不过对题目本身而言已经足够了.

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