矩阵迹与行列式问题

Let $A$ be an $n\times n$ matrix with real entries. Prove that $\det(A)=\frac{1}{n!}\det\left( \begin{matrix} \text{tr}(A)&1&0&0&\cdots&0\\\text{tr}(A^2)&\text{tr}(A)&2&0&\cdots&0\\\text{tr}(A^3)&\text{tr}(A^2)&\text{tr}(A)&3&\ddots&\vdots\\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\\text{tr}(A^{n-1})&\text{tr}(A^{n-2})&\cdots&\text{tr}(A^2)&\text{tr}(A)&n-1\\\text{tr}(A^n)&\text{tr}(A^{n-1})&\cdots&\cdots&\text{tr}(A^2)&\text{tr}(A)\end{matrix}\right)$.
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元始天尊

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记 $A$ 的特征值的基本对称多项式为 $e_1$, $e_2$, $\ldots$, $e_n$, $\ldots$
把第 $2$ 列的 $-e_1$ 倍, 第 $3$ 列的 $e_2$ 倍, $\ldots$, 第 $n$ 行的 $(-1)^{n-1}e_{n-1}$ 倍都加到第一列上, 这样第一列的前 $n-1$ 个元素都是 $0$ (利用 Newton 恒等式), 最后一个元素是 $(-1)^{n-1}ne_n=n\det(A)$, 按该列展开即结论.

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