矩阵Moore-Penrose逆问题

对于矩阵$A$和$B$,记${A}^+$为矩阵$A$的Moore-Penrose逆. 证明:
$(AB)^+=B^+A^+$成立的充要条件是下列之一:
(1)$A^+ABB^HA^H=BB^HA^H, BB^+A^HAB=A^HAB$.
(2)$Im(A^HAB)\subset Im(B),Im(BB^HA^H)\subset Im(A^H)$.
(3)$A^+ABB^H$和$A^HABB^+$都是Hermite矩阵.
(4)$A^+ABB^HA^HABB^+=BB^HA^HA$.
(5)$A^+AB=B(AB)^+AB,BB^+A^H=A^HAB(AB)^+$.
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