求定积分$∫_0^1\ln x\ln(1-x)dx$

定积分!这个题怎么做?$∫_0^1\ln x\ln(1-x)dx$
已邀请:

狄利克雷 - 90后数系男

赞同来自: ゞ灬若心╰→ Math001

利用级数求定积分的值
当$x\in (0,1)$,有$\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{+\infty}\cfrac{x^n}{n}$
故$∫_0^1\ln x\ln(1-x)dx=-∫_0^1\ln x\sum_{n=1}^{+\infty}\cfrac{x^n}{n}dx$
$=-\sum_{n=1}^{+\infty}∫_0^1\ln x\cfrac{x^n}{n}dx=-\sum_{n=1}^{+\infty}∫_0^1\cfrac{\ln x}{n(n+1)}d(x^{n+1})$
运用分部积分公式,得
$=-\sum_{n=1}^{+\infty}\cfrac{1}{n(n+1)}\left[\left.(x^{n+1}\ln x)\right|_0^1-∫_0^1x^{n+1}d(\ln x)\right]$
$=-\sum_{n=1}^{+\infty}\cfrac{-∫_0^1x^{n}dx}{n(n+1)}$
$=\sum_{n=1}^{+\infty}\cfrac{1}{n(n+1)^2}$
$=\sum_{n=1}^{+\infty}\cfrac{n+1-n}{n(n+1)^2}$
$=\sum_{n=1}^{+\infty}\left[\cfrac{1}{n(n+1)}-\cfrac{1}{(n+1)^2}\right]$
$=\sum_{n=1}^{+\infty}\left[\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+1}-\cfrac{1}{(n+1)^2}\right]$
$=1-(\cfrac{\pi^2}{6}-1)=2-\cfrac{\pi^2}{6}$

要回复问题请先登录注册