2015华南理工大学硕士研究生入学考试题

设$f(x)$在$[a,b]$上连续且满足
$0 \leqslant f(x) \leqslant m +n\int_a^xf(t)dt $ $a\leqslant x \leqslant b$
其中$m\geqslant0$及$n>0$是两个常数.
证明: 对任意的$x \in [a,b]$有$f(x)\leqslant m\cdot e^{n(x-a)}$.
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元始天尊

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记 $F(x)=\int_a^xf(t)dt$, 条件化成
$\Bigl[e^{-n(x-a)}\Bigl(m+nF(x)\Bigr)\Bigr]'=
-ne^{-n(x-a)}\bigl[m+nF(x)-f(x)\bigr]\leq0.$
所以
$e^{-n(x-a)}\Bigl(m+nF(x)\Bigr)\leq m+nF(a)=m,$
从而
$f(x)\leq m+nF(x)\leq me^{n(x-a)}$.

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