一个级数问题

设$a_n>0$,$\left\{ a_n-a_{n+1}\right\}$为一个严格递减的数列。如果$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛。试证:$\lim\limits_{n \to \infty}\left( \cfrac{1}{a_{n+1}}-\cfrac{1}{a_n}\right)=+\infty$
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元始天尊

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容易验证 $a_n$ 也严格递减.
$\begin{aligned}
\displaystyle0\leq\biggl(\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}\biggr)^{-1}
&=\frac{a_na_{n+1}}{a_n-a_{n+1}}\\
&\leq\frac{a_n^2}{a_n-a_{n+1}}\\
&=\sum_{k=n}^{\infty}\frac{a_k^2-a_{k+1}^2}{a_n-a_{n+1}}\\
&\leq\sum_{k=n}^{\infty}\frac{a_k^2-a_{k+1}^2}{a_k-a_{k+1}}\\
&=\sum_{k=n}^{\infty}(a_k+a_{k+1})\\
&\to0.
\end{aligned}$

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