关于致密性定理

为什么有界数列必有收敛子列叫做“致密性定理”。怎么理解“致密性”?
另外,课本上说致密性定理是聚点定理的特殊情形,但是我认为这句话有问题。聚点定理的条件是有界无限点集,点集具有互异性。而致密性定理的条件是有界数列,数列不要求各项互异。例如常数列有收敛子列并不能用聚点定理起解释。所以这话应该反过来说,聚点定理是致密性定理的特殊情行。这样理解对吗?
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元始天尊

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你首先要理解这些定理在干什么。
简单一点讲,关于实数的几个基本定理体现出了实数和有理数的本质区别,也就是说这些定理条件里的实数换成有理数结论就不再成立。
然后看你的问题,可以说,致密性定理是聚点定理的特殊情形,反过来聚点定理也是致密性定理的特殊情形,因为在一定的条件下两者是等价的。
至于你说的数列不要求各项互异的问题,如果一个数列只含有有限个值,那么致密性定理的结论是平凡的,只需要用极限的定义就行了,这样的结论对有理数同样成立,并不体现出实数的特殊性质,所以是平凡的。
通常来讲在这几个定理互推的证明中,大多数步骤都是平凡的,但唯有一步是对有理数不成立的,这一步才需要借助其它等价的定理来证明。

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