不等式问题

已知$a,b,c$为正实数,求证:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geqslant \sqrt {\frac{{{a^2} + 1}}{{{b^2} + 1}}} + \sqrt {\frac{{{b^2} + 1}}{{{c^2} + 1}}} + \sqrt {\frac{{{c^2} + 1}}{{{a^2} + 1}}} .$
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ddsxw99

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有两种方法:

1. 逐步调整,即排序不等式方法。设b最小, 从 $\cfrac{a}{b}$ + $\cfrac{b}{c}$ + $\cfrac{c}{a}$ 到 $\cfrac{b}{b}$ + $\cfrac{a}{c}$ + $\cfrac{c}{a}$ 到 $\cfrac{b}{b}$ + $\cfrac{c}{c}$ + $\cfrac{a}{a}$ = 3, 右边调整类似,最后也得 3。不难证明每次调整左边减少不少于右边减少,最后都得3,所以初值 $\cfrac{a}{b}$ + $\cfrac{b}{c}$ + $\cfrac{c}{a}$ $\geqslant$ $\sqrt{\cfrac{{a}^{2}+1}{{b}^{2}+1}}$ + $\sqrt{\cfrac{{b}^{2}+1}{{c}^{2}+1}}$ + $\sqrt{\cfrac{{c}^{2}+1}{{a}^{2}+1}}$

2. 代数机械,先三角代换,即证 $\cfrac{\textbf{tg} x}{\textbf{tg} y}$ + $\cfrac{\textbf{tg} y}{\textbf{tg} z}$ + $\cfrac{\textbf{tg} z}{\textbf{tg} x}$ $\geq$ $\cfrac{\textbf{sec} x}{\textbf{sec} y}$ + $\cfrac{\textbf{sec} y}{\textbf{sec} z}$ + $\cfrac{\textbf{sec} z}{\textbf{sec} x}$ 。再作万能代换化为三元代数不等式。代入Mathematica求解可知无极值内点。所以 a,b,c 至少有一个趋于 0 或 $\infty$,后略。

齐天大科 - 小生愚笨,请多关照。

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应该是( 1/b - 1/c )( a - b ) ≥ ( 1/√(b^2 + 1) - 1/√(c^2 + 1) )( √(a^2 + 1) - (b^2 + 1) ) 吧。。。(无伤大雅)。。。再弱弱的问一句,( 1/b - 1/c )( a - b ) ≥ ( 1/√(b^2 + 1) - 1/√(c^2 + 1) )( √(a^2 + 1) - (b^2 + 1) )这个式子怎么证明呀。。。

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