# 不等式问题

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geqslant \sqrt {\frac{{{a^2} + 1}}{{{b^2} + 1}}} + \sqrt {\frac{{{b^2} + 1}}{{{c^2} + 1}}} + \sqrt {\frac{{{c^2} + 1}}{{{a^2} + 1}}} .$

1. 逐步调整，即排序不等式方法。设b最小， 从 $\cfrac{a}{b}$ + $\cfrac{b}{c}$ + $\cfrac{c}{a}$ 到 $\cfrac{b}{b}$ + $\cfrac{a}{c}$ + $\cfrac{c}{a}$ 到 $\cfrac{b}{b}$ + $\cfrac{c}{c}$ + $\cfrac{a}{a}$ = 3， 右边调整类似，最后也得 3。不难证明每次调整左边减少不少于右边减少，最后都得3，所以初值 $\cfrac{a}{b}$ + $\cfrac{b}{c}$ + $\cfrac{c}{a}$ $\geqslant$ $\sqrt{\cfrac{{a}^{2}+1}{{b}^{2}+1}}$ + $\sqrt{\cfrac{{b}^{2}+1}{{c}^{2}+1}}$ + $\sqrt{\cfrac{{c}^{2}+1}{{a}^{2}+1}}$

2. 代数机械，先三角代换，即证 $\cfrac{\textbf{tg} x}{\textbf{tg} y}$ + $\cfrac{\textbf{tg} y}{\textbf{tg} z}$ + $\cfrac{\textbf{tg} z}{\textbf{tg} x}$ $\geq$ $\cfrac{\textbf{sec} x}{\textbf{sec} y}$ + $\cfrac{\textbf{sec} y}{\textbf{sec} z}$ + $\cfrac{\textbf{sec} z}{\textbf{sec} x}$ 。再作万能代换化为三元代数不等式。代入Mathematica求解可知无极值内点。所以 a，b，c 至少有一个趋于 0 或 $\infty$，后略。