证明级数发散

证明:若$p\leq1$,则级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{\cos(\ln n)}{\ n^p}$发散.
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考虑$A_k=\{n\in\mathbb{N}~|2k\pi\le\ln n\le2k\pi+\dfrac{\pi}{4}~\}$$=\{n\in\mathbb{N}~|e^{2k\pi}\le n\le e^{2k\pi+\frac{\pi}{4}}~\}$
其中$k=2,3,4,\cdots$

注意$A_k$是连续自然数组成的集合,
且元素个数不小于$e^{2k\pi+\frac{\pi}{4}}-e^{2k\pi}-2\ge \dfrac{e^{2k\pi}}{4}$

于是$0<p\le1$时候。
$\sum\limits_{n\in A_k} \cfrac{\cos(\ln n)}{\ n^p}\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sum\limits_{n\in A_k} \dfrac{1}{ n}\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{e^{2k\pi}}{4e^{2k\pi+\frac{\pi}{4}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{8e^{\frac{\pi}{4}}}$

而$p\le0$时,一般项不收敛于$0$。

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