函数微分,拉格朗日中值定理

设$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续,$g(x)$在$(a,b)$内可微,且$g(a)=0$,若有实数$λ≠0$,使得$|g(x)f(x) +λg'(x)|≤|g(x)|$,$x\in(a,b)$成立,证明$g(x)\equiv0$。
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和这个题的思路一样
http://duodaa.com/?/question/6390

注意到,当$g(c)=0$时,易知$g'(c)=0$
得到$g(x)$的零点的导数都为零,这样$|g(x)|$可导。

于是对$\lambda>0$令$h(x) = e^{\frac{1}{\lambda}\int_a^x(f(t)-1)dx}|g(x)|$

于是得到$h'(x)= \dfrac{1}{\lambda}e^{\frac{1}{\lambda}\int_a^x(f(t)-1)dx}((f(x)-1)|g(x)|+\lambda\text{sgn}(g(x))g'(x))$

$=\dfrac{1}{\lambda}e^{\frac{1}{\lambda}\int_a^x(f(t)-1)dx}(f(x)|g(x)|+\lambda\text{sgn}(g(x))g'(x)-|g(x)|)$

$=\dfrac{1}{\lambda}e^{\frac{1}{\lambda}\int_a^x(f(t)-1)dx}(f(x)\text{sgn}(g(x))g(x)+\lambda\text{sgn}(g(x))g'(x)-|g(x)|)$

$=\dfrac{1}{\lambda}e^{\frac{1}{\lambda}\int_a^x(f(t)-1)dx}(\text{sgn}(g(x))(f(x)g(x)+g'(x))-|g(x)|)$

$\le\dfrac{1}{\lambda}e^{\frac{1}{\lambda}\int_a^x(f(t)-1)dx}(|(f(x)g(x)+g'(x)|-|g(x)|)\le0$

说明$h(x)$是递减的。得到$h(x)\le h(a)=0$

于是$g(x)\equiv0$

对于$\lambda<0$,令$m(x)=-f(x),\delta=-\lambda$

可得到$|g(x)m(x)+\delta g'(x)|\le|g(x)|$,同理可得结论。

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