参变量积分的上确界

设$0<\alpha<1$,连续函数$f(t)$满足:$\int_{0}^{1}\left|f(t) \right|dt\leq1$,求$\int_{0}^{1}$$f({t}^{\alpha})dt$的上确界。
证明$\cfrac{1}{\alpha}$是是上确界这种方法比较新颖,学习了。
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妖心儿

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令$x=t^α$,那么有:
$\int_{0}^{1} f(t^α)dt=\frac 1α \int_{0}^{1} x^{\frac 1α -1}f(x)dx\le \frac 1α \int_{0}^{1} \left|f(x) \right|dx\le \frac 1α.$
取$f_n(t)=nt^{n-1}$,则
$\int_{0}^{1} |f(t)|dt=1, \\ \int_{0}^{1} f(t^α)dt=n\int_0^1 t^{α(n-1)}dt=\frac n{α(n-1)+1}\rightarrow \frac 1α.$
因此$sup\int_{0}^{1} f(t^α)dt=\frac 1α.$

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