如何证明$\cfrac{x^n}{n!}\to0$

如何证明:$\lim\limits_{n \to \infty}$$\cfrac{{x}^{n}}{n!}=0$
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妖心儿

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$\left|\cfrac {x^n}{n!} \right|=\cfrac {|x|^{[|x|]}}{[|x|]!}\cfrac {|x|}{[|x|]+1}\cfrac {|x|}{[|x|]+2}...\cfrac {|x|}n\le \cfrac {|x|^{[|x|]}}{[|x|]!}\cfrac {|x|}n \rightarrow 0,n\rightarrow \infty.$

Math001

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取$K=[|x|]+1$

则当$n>K$时有,

$\left|\dfrac{x^n}{n!}\right|=\left|\dfrac{x^{K+1}\cdot \overbrace{x\cdots x}^{n-K-1个x}}{(K+1)!(K+2)\cdots n}\right|\le \dfrac{K^{K+1}}{(K+1)!}\left(\dfrac{K}{K+1}\right)^{n-k-1}$

格罗滕迪克

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一个简单的证明,lx^n/n!l<l(x/x+1)^(n一x)l·l(x^x/x!l=A·B,易知A->0,B为常数,故原待证式成立。手机打的字体别介意。

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