一道数学分析试题

设$f(x)$在$[0,1]$上可微,且$f(0)=0,|f'(x)| \leqslant M|f(x)|, M$是非负常数. 证明: $f(x)=0, x \in [0,1]$.
已邀请:

Math001

赞同来自: 代数龙

注意到当$f(c)=0$时,有$|f'(c)|\le M|f(c)|=0$

于是$f'(c)=0$

这说明,$f(x)$的所有零点都导数为零。

于是$|f(x)|$是可导函数

令$g(x) = e^{-Mx}|f(x)|$

则$g'(x)= e^{-Mx}(\text{sgn}(f(x))\cdot f'(x)-M|f(x)|)$

$\le e^{-Mx}(|\text{sgn}(f(x))\cdot f'(x)|-M|f(x)|)=e^{-Mx}(| f'(x)|-M|f(x)|)\le0$

于是$g(x)$单减,$g(x)\le g(0)=0$。

得到$f(x)=0, x\in[0,1]$

要回复问题请先登录注册