数学分析,关于单调增函数的连续性问题


设$f$为$[a,b]$上增函数,其值域为$[f(a),f(b)]$.证明$f$在$[a,b]$上连续.
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Math001

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用反证法:
设$f(x)$在$x=c\in[a,b] $处不连续。
由$f(x)$单增,则有$f(x)$在$x=c$处存在左右极限,且不等。

即$l_1=\lim\limits_{x\to c^-}f(x), l_2= \lim\limits_{x\to c^+}f(x)$
且有$f(a)\le l_1<l_2\le f(b) $ (这一步是因为单调性)

同时,还是因为单调性有$l_1\le f(c)\le l_2 $,且这个不等式的两个等号不会同时成立。(why?)
取一点$l$,满足$l_1<l<l_2$且$l\not=f(c) $。(这个取法能办到,why?)

则有当那么有,当$x<c$时,$f(a)\le f(x)<l_1< l$
当$x>c$时,$f(b)\ge f(x)>l_1>l$
当$x=c$时,$f(c)\not=l $

这样得到了一个$l\in[f(a),f(b)] $,但$l$不在$f(x)$的值域里。
矛盾。

所以$f(x)$连续。

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