最小sigma代数中元素个数

用${A}_{m}$表示能被m整除的正整数,用$\varphi$表示包含${A}_{3}$,${A}_{4}$,${A}_{5}$和${A}_{6}$的最小$\sigma$-代数。求$\varphi$中元素的个数。
已邀请:

Math001

赞同来自: Vi 格罗滕迪克

考虑使用概率论中的符号:
$A+B$表示$A\cup B$
$AB$表示$A\cap B$
$\overline{A}$表示$A^c$

考虑
$\mathbb{Z}^+=(A_3+\overline{ A_3})(A_4+\overline{ A_4})(A_5+\overline{ A_5})(A_6+\overline{ A_6})$

$=A_3A_4A_5A_6+{A_3}{A_4}{A_5}\overline{A_6}+{A_3}{A_4}\overline{A_5}{A_6}+{A_3}{A_4}\overline{A_5}~\overline{A_6}$
$+{A_3}\overline{A_4}{A_5}{A_6}+{A_3}\overline{A_4}{A_5}\overline{A_6}+{A_3}\overline{A_4}~\overline{A_5}{A_6}+{A_3}~\overline{A_4}~\overline{A_5}~\overline{A_6}$
$+\overline{A_3}{A_4}{A_5}{A_6}+{A_3}{A_4}{A_5}\overline{A_6}+\overline{A_3}{A_4}\overline{A_5}{A_6}+\overline{A_3}{A_4}\overline{A_5}~\overline{A_6}$
$+\overline{A_3}~\overline{A_4}{A_5}{A_6}+\overline{A_3}~\overline{A_4}{A_5}\overline{A_6}+\overline{A_3}~\overline{A_4}~\overline{A_5}{A_6}+\overline{A_3}~\overline{A_4}~\overline{A_5}~\overline{A_6}$

去掉这16项中的空集

注意$\overline{A_3}A_6=\emptyset,$

于是上面的第$9,11,13,15$项可以去掉。

另外$A_3A_4=A_{12}\subset A_6 $

于是$A_3A_4A_5\overline{A_6}=A_3A_4\overline{A_5}~\overline{A_6}=\emptyset$
这两项,即第$2,4$项也可以去掉。


于是得到
$\mathbb{Z}^+=(A_3+\overline{ A_3})(A_4+\overline{ A_4})(A_5+\overline{ A_5})(A_6+\overline{ A_6})$

$=A_3A_4A_5A_6+{A_3}{A_4}\overline{A_5}{A_6}$
$+{A_3}\overline{A_4}{A_5}{A_6}+{A_3}\overline{A_4}{A_5}\overline{A_6}+{A_3}\overline{A_4}~\overline{A_5}{A_6}+{A_3}~\overline{A_4}~\overline{A_5}~\overline{A_6}$
$+{A_3}{A_4}{A_5}\overline{A_6}+\overline{A_3}{A_4}\overline{A_5}~\overline{A_6}$
$+\overline{A_3}~\overline{A_4}{A_5}\overline{A_6}+\overline{A_3}~\overline{A_4}~\overline{A_5}~\overline{A_6}$

这是$10$个非空两两不交$\varphi$中的集合。

对应为$Y_1,Y_2,\cdots,Y_{10}$

而且$A_3,A_3,A_5,A_6$能被$\{Y_i\}$中的集合有限并出来。

于是$\varphi$可以由$\{Y_i\}$生成。

用超限归纳法,可证明$\varphi$的任意元素,可由$\{Y_i\}$中的集合有限并出来。

所以,$\varphi$的元素个数是$\{Y_i\}$幂集的个数,为$2^{10}$

要回复问题请先登录注册