试构造一个平面自治系统,其极限集的极限集不为闭轨线也不为单奇点

构造一个平面自治常微分方程系统$\left\{ \begin{array} ax'=f(x,y)\\y'=g(x,y) \end{array}\right.$,方程满足存在唯一性条件。
使得其上面一个有界$\Omega$极限集,里面包含奇点;极限集里有一条轨线,它的$\Omega$极限集不是单奇点。即$\exists P\in\mathbb{R}^2,\Omega_P$不是闭轨线,且$\exists Q\in\Omega_P,\forall R\in \mathbb{R}^2,\Omega_Q\neq\{R\}$。
可以证明极限集的极限集不存在常点(若非闭轨),而个人一直证明不了极限集的极限集不是奇点构成的线。
那么可以试图构造一个极限集的极限集是奇线的例子,借助$\sin(1/x)$在$x\to0^+$收敛于$x=0,-1\leq y\leq1$。
期望以$x=0,-1\leq y\leq1$作为$\Omega_Q$。
在$x$正方向截取有限长的横坐标(如$0\leq x\leq1$),在截段的$\sin(1/x)$两侧作一条“管子”,管宽随$x$趋于0而减小趋于0。
期望将该“管子”作为轨线$L_Q$。
期望$\Omega_P=L_Q\cup\Omega_Q$。
$\sin(1/x)$位于$\Omega_P$内部,也是一奇线,它两侧的轨线方向与$L_Q$方向一致。
这样的系统在几何上来看是存在的,问题就是怎么把具体的方程$f,g$构造出来了。也许有更好的例子吧,但我还没想到。。。
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