单调函数与无穷级数结合的一个问题

题30:设$f(x)$是$[0,+\infty)$上正的递增函数,$k,m \in N$,证明:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} f(\cfrac{k}{n})+\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(\cfrac{m}{n})\leqslant \sum\limits_{n=1}^{\infty}f(\cfrac{k+m}{n})$.
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妖心儿

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观察三组数:
$(1)\cfrac 1{k+m}, \cfrac 2{k+m},\cdots, \cfrac {k+m-1}{k+m},1.\\
(2)\cfrac 1k,\cfrac 2k,\cdots, \cfrac {k-1}k,1.\\
(3)\cfrac 1m,\cfrac 2m,\cdots,\cfrac {m-1}m,1.$
从第一组数中任取$\cfrac p{k+m},$
由$\cfrac {p_1}k<\cfrac p{k+m}, \cfrac {p_2}m<\cfrac p{m+k}$可得$p_1+p_2<p.$
此式即是说(2)(3)两组数中比$\cfrac p{k+m}$小的数不超过$p-1$个, 于是不小于$\cfrac p{k+m}$的数至少有$m+k+1-p$个.

将(1)中的最大的数与(2)(3)中任取一个不比他小的数配对, 然后将这两个数从三组数中剔除,

继续在(1)中取最大的数与(2)(3)中任取一个不比它小的数配对. 由前面的论证这显然是可以做到的.

于是我们就证明了(1)中的数可以与(2)(3)中的数配对, 使得每一对中的(1)中的数不大于(2)(3)中的数.

对于整数$q\ge 0$,
$(1)q+\cfrac 1{k+m},q+\cfrac 2{k+m},\cdots, q+\cfrac {k+m-1}{k+m},q+1.\\
(2)q+\cfrac 1k,q+\cfrac 2k,\cdots, q+\cfrac {k-1}k,q+1.\\
(3)q+\cfrac 1m,q+\cfrac 2m,\cdots,q+\cfrac {m-1}m,q+1.$
即每个数都加上q之后仍然有相同的配对结论.

这样我们就有$\sum\limits_{n=1}^k f(\cfrac 1{q+\frac nk})+\sum\limits_{n=1}^m f(\cfrac 1{q+\frac nm})\le \sum\limits_{n=1}^{k+m} f(\cfrac 1{q+\frac {n}{k+m}}).$
也即
$\sum\limits_{n=1}^k f(\cfrac k{kq+n})+\sum\limits_{n=1}^m f(\cfrac m{mq+n})\le \sum\limits_{n=1}^{k+m} f(\cfrac {k+m}{(k+m)q+n}).$

对q从0到$\infty$进行求和,即可得结论.

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