关于等价无穷小量的一个问题

已知函数$\textit{F(x),G(x)}$两者的定义域相同,且均存在反函数,分别记为$\textit{f(x),g(x)}$。若$\lim\limits_{x \to 0}F(x)=\lim\limits_{x \to 0}G(x)=0$,且$\lim\limits_{x \to 0}$$\cfrac{F(x)}{G(x)}$$=$$\textrm{1}$,问:是否一定有$\lim\limits_{x \to 0}$$\cfrac{f(x)}{g(x)}$$=$$\textrm{1}$?
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永進大帝

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不一定,反例如下。

$F(x)$按下面这样定义:
定义域是$[-1,0)\cup(0,1]$, 定义成奇函数。
$(\frac{1}{2},1]$映到$(\frac{1}{2},1]$,
$(\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$映到$(\frac{1}{8},\frac{1}{4}]$,

$(\frac{1}{8},\frac{1}{4}]$映到$(\frac{1}{32},\frac{1}{16}]$,

$(\frac{1}{16},\frac{1}{8}]$映到$(\frac{1}{128},\frac{1}{64}]$,

$\cdots$

$(0,1]$部分定义好了,$F(x)$也就定义好了。
再令$G(x)=F(x)$.

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