$\sin x\sin\sqrt{2}x$是否为周期函数?

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zhhhhxhq - 大学生

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设 $f(x)=g(x)h(x), g(x)=\sin{x}, h(x)=\sin{\sqrt{2}x}$ 和 $T_1=2\pi,T_2=\sqrt{2}\pi$。假设 $f$ 是周期函数。
由于 $g$ 和 $h$ 在一个周期内有且只有有限个零点,从而 $f$ 在一个周期内也只有有限个零点,这说明 $f$ 的零点不可能任意的靠近。设 $g(a)=0,\ h(b)=0$,则 $a+nT_1$ 和 $b+mT_2$ 都是 $f$ 的零点。由于 $T_1/T_2$ 为无理数,故 $a+nT_1-b-mT_2$ 可以任意小,得到矛盾。

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不是,看两个周期的比值,若为有理数,则两周期的最小公倍数就是其周期,但不一定是最小正周期

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