拓扑群开集平移还是开集的问题。

为什么$U\cdot x$是开集?$U$是$1_G$的邻域,$x$是拓扑群$G$的一个元素。


如果说$x\cdot$这个作用是同胚,也就是要证开集$U$的逆项$x^{-1}\cdot U$是开集,这是循环论证吧?
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Math001

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定义$f_x:G\to G,g\to g\cdot x$

容易验证$f_x$是一个同胚。

于是$U\cdot x = f_x(U)$,得证。




$f_x$同胚的证明:

对于一个常值$x$。

令$h_1(g)=x,h_2(g)=g$。

对于常值函数,和恒等映射,在任意拓扑空间都是连续的。

于是$h_2\times h_1:~G\times G\to G\times G~,~ (g_1,g_2)\to (g_1,x)$是连续的。

$而j(g_1,g_2)=g_1\cdot g_2$,这个映射因拓扑群的定义而连续。

于是$f_x = j\circ (h_1\times h_2) $是连续的。

同理$f^{-1}_x$连续。

$f^{-1}_x$双射显然。

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