圆周和实直线的拓扑群是否唯一

考虑一般的实直线上的开集作为拓扑,那么其上的拓扑群是不是一定与实数加群同构?如果不是有没有反例?
考虑圆周上的一般拓扑,其上的拓扑群是不是也一定与加群$\mathbb{R/Z}$同构?
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Belanov

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我觉得是的,取Haar Measure,$\mu([0,t])$给出一个同构

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