闭区间套问题

已知$f(x)$在$[a,b]$上单调递增,且$f(a)>a$,$f(b)<b$,证明:存在$ξ∈[a,b]$,使得$f(ξ)=ξ$.
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Math001

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令$a_1=a,b_1=b,I_1=[a_1,b_1]=[a,b]$

递归定义$a_n,b_n,x_n=\dfrac{a_n+b_n}{2}$

取$a_{n+1}=\begin{cases}x_n&f(x_n)>x_n\\a_n&f(x_n)<x_n\end{cases}$ , $b_{n+1}=\begin{cases}b_n&f(x_n)>x_n\\x_n&f(x_n)<x_n\end{cases}$

注意,当$a_{n+1}$在无法定义时,必有$f(x_n)=x_n$,于是得证。

于是,不妨假设,上述递归定义可以进行无限步。

于是,由闭区间套定理,存在唯一的$\xi$使得$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\xi$

由单调性,有$\lim\limits_{n\to\infty}f(a_n),\lim\limits_{n\to\infty}f(b_n)$都存在,且$\lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)\le f(\xi)\le\lim\limits_{n\to\infty}f(b_n)$

另一方面,注意$f(a_n)>a_n,f(b_n)<b_n$,得到$\lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)\ge\xi\ge\lim\limits_{n\to\infty}f(b_n)$

得到$f(\xi)=\xi$

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