广义二阶导数一题

若$f(x)$在$[a,b]$上连续, $f(x)$的广义二阶导数
\begin{eqnarray}f''(x)=\lim\limits_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(x+2h)-2f(x)+f(x-2h)}{4h^2} \end{eqnarray}
存在,且恒为零. 试证明: $f(x)=ax+b$ ($a,b$为常数).
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妖心儿

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定义域的[a,b]和f(x)=ax+b的a,b不一定是同一个a,b.
只证明定义域是[0,1]的情形.
取g(x)=f(x)-(ax-b),其中a,b的取法使得g(0)=g(1)=0.
设$\varepsilon>0,g_\varepsilon(x)=g(x)+\varepsilon x(x-1)$
那么$g_\varepsilon''(x)=2\varepsilon>0$
由广义二阶导数的定义可见$g_\varepsilon(x)$在(0,1)内不取极大值,而$g_\varepsilon(0)=g_\varepsilon(1)=0$,
所以$g_\varepsilon(x)\le0$.
由$\varepsilon$任意可得$g(x)\le 0$.
同理可得$-g(x)\le 0$.
于是$g(x)=0$,也即$f(x)=ax+b$

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