两个泛函分析问题



X,Y都是Banach空间,T是X到Y的线性算子,证明T连续的充要条件是对任意${x}_{n}$$\overset{w}{\rightarrow}$x,则${Tx}_{n}$$\overset{w}{\rightarrow}$Tx



这个问题的充分性证明,答案是用闭图像定理。先设任意xn收敛于x,Txn收敛于一个y,则由条件xn弱收敛于x,则Txn弱收敛于Tx,弱收敛极限唯一,所以y=Tx,是闭算子,所以得证。
我想问xn收敛于x,为什么可以设Txn就收敛于一个y,Txn一定收敛吗,在T只是线性算子,不一定连续的情况下??


第二个问题,A和${A}_{n}$都是赋范线性空间X到Y的有界线性算子,如果${A}_{n}$$\overset{强}{\rightarrow}$A,问是否$A_n^*$$\overset{强}{\rightarrow}$A?

请给点提示,或者举个反例,谢谢
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妖心儿

赞同来自: 夜虹

第一个问题你应该多读读书,看看什么是闭图像定理。。。闭图像定理是说如果图像是闭的,那么算子就是连续的。。。你要证明图像是闭的,就是说$G=\{(x,Tx)|x\in X\}$在乘积空间$X\times Y$中是闭的,乘积空间的范数定义为$||(x,y)||=||x||_1+||y||_2$。。。所以任取$X\times Y$中的一个点$(x,y)$,当它是G的极限点时,因为$G$中的点都具有$(x,Tx)$的形式,所以有一列$(x_n,Tx_n)$按照乘积空间中的范数趋于$(x,y)$,也就是$x_n$趋于x,$Tx_n$趋于y。。。
然后收敛肯定弱收敛,就有$x_n$弱收敛于$x$, 所以$Tx_n$弱收敛于$Tx$. 另外$Tx_n$收敛于$y$所以也弱收敛于$y$. 然后弱极限唯一,就有$y=Tx$.也就是说$(x,y)=(x,Tx)\in G$.所以G是闭的。。。这时候闭图像定理就可以用了嘛。。。
反过来如果$T$是连续的,那么对于任意的有界线性泛函$f$,复合函数$fT$当然也就连续了,如果$x_n\overset{w}{\rightarrow} x$, 就有$fTx_n\to fTx$, 也就是说$Tx_n\overset{w}{\rightarrow}Tx$.
第二个问题你是不是打错了,应该是$A_n^*$强强收敛于$A^*$吧。。。这个根据$||A||=||A^*||$是显然的啊。。。用这个不就是$||A_n^*-A^*||=||A_n-A||$了嘛。。。不知道你看的是什么书,如果书上没有这些东西那建议你换本书看吧。。。

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