一个泛函分析问题

X,Y都是banach空间,A是X到Y的有界线性算子,且AX=Y,证明:存在常数N,对任何Y中收敛于某一y0的子列$\left\{ {y}_{n}\right\}$,必存在X中的$\left\{ x{}_{n}\right\}$,使得$\left\|{x}_{n}\right\|$$\leq$N$\left\|{y}_{n}\right\|$,Axn=yn,xn$\to$x0

这个题的证法是用开映射定理,构造出一个Y和X'$\subset$X的一一映射,然后逆算子在开映射下就是连续的了,所以不等式成立。

但是我想知道这个如何构造X',答案没看懂,要让X' 构成一个赋范空间,还要满足题目条件
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妖心儿

赞同来自: Math001

这个并不是包含关系,而是商空间。。。
就是说$A:X\to Y$,这个映射是满射,但不一定是 单射,但是通过可以把A诱导到商空间$X/N(A)$上,这里$N(A)$是$A$的核,也就是$N(A)=\{x|Ax=0\}$.
$A':X/A(N)\to Y,A'[x]=Ax$
这样就有$A'$是单满的,之后再处理起来就很容易了。。。

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