一道 积分等式证明题 数学分析

设函数f在【0,1】上连续,证明:$\lim\limits_{n \to ∞}$(n+1)$\int_{0}^{1}$${x}^{n}$f(x)dx=f(1)
已邀请:

风~ - 理工男

赞同来自:

原式=∫ (0,1) f(x) d(x^(n+1))=∫(0,1)f(t^(1/(n+1)))dt = ∑1/n * f((i/n)^1/(n+1)),i=1..∞ =∑1/n *f(1) i=1..∞=f(1)。 (lim省略了)

风~ - 理工男

赞同来自:

原式=∫ (0,1) f(x) d(x^(n+1))=∫(0,1)f(t^(1/(n+1)))dt = ∑1/n * f((i/n)^1/(n+1)),i=1..∞ =∑1/n *f(1) i=1..∞=f(1)。 (lim省略了)

海马非马

赞同来自:

用洛必达法则呢?把$\cfrac {1}{n+1}$转成分母,就成了个0/0型未定式。

$\lim \limits_{n \to \infty} (n+1)\int_ 0^1 x^n f(x)dx$
$=\lim \limits_{t \to 0} \cfrac {\int_ 0^1 x^{1/t-1} f(x)dx}{t}$ ($作这样的变量替换,t=\cfrac {1}{n+1}$)
$=f(1)/1=f(1) $ (分子分母同时求导)

关于$\int_ 0^1 x^n f(x)dx$ 是当 $x \in (0,1), n \to \infty $ 的无穷小的证明。记这个量的绝对值为C,
C=$\int_ 0^1 |x^n| |f(x)|dx$<=$k \int_ 0^1 x^ndx $, (这里k是|f(x)|在(0,1)上的最大值)
$=\cfrac{k}{n+1}$, 显然是$n \to \infty$时的无穷小。

上面的证明用到一个隐含的结论,在闭区间上连续的函数在该区间内有界且一定能取得他的最大值和最小值。

要回复问题请先登录注册