一个关于两个范数强弱的泛函习题

设X,Y都是赋范线性空间,${\left\| \cdot\right\|}_{1}$与${\left\| \cdot\right\|}_{2}$分别是X上范数。如果凡按${\left\| \cdot\right\|}_{1}$连续的线性泛函也按${\left\| \cdot\right\|}_{2}$连续,则有${\left\| \cdot\right\|}_{2}$强于${\left\| \cdot\right\|}_{1}$
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JiYinX

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$函数f(x)=\Vert x\Vert_1按\Vert \cdot\Vert_1连续$,由条件知$f按\Vert \cdot\Vert_2连续$,所以$\Vert x\Vert_2 \to 0可推出f(x) \to 0,即\Vert x\Vert_1 \to 0$所以$\Vert\cdot\Vert_2强于\Vert \cdot\Vert_1$

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