如何证明R上的实值函数的极值所组成的集合至多是可列集?

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Math001

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设$f$为一个实函数,$A$为其极大值组成的集合

那么,任取$a,b\in A,a\not=b$(不妨$a<b$),则存在$s,t$满足$f(s)=a,f(t)=b$,存在以有理数为端点的开区间$(p_a,q_a),(p_b,q_b)$

满足$s\in(p_a,q_a)$,且$\forall x\in(p_a,q_a),f(x)\le a$以及$t\in(p_b,q_b)$,且$\forall x\in(p_b,q_b),f(x)\le b$

这两个开区间不然不相同,否则$t\in(p_b,q_b)=(p_a,q_a)$,$f(t)=b>a$,矛盾。

于是,上述过程实际上找到了一个$A$到$\mathbb{Q}^2$的单射。证毕。

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