高等代数题目

设$J,X$均是$n×n$阶实矩阵,$J$的各行各列元素都是$1$,证明:$X=XJ+JX$只有零解$X=0$
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Math001

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$n=1$时,显然成立

$n>1$时

注意到$J^2=nJ$

于是有

$XJ=XJ^2+JXJ = nXJ+JXJ ~~~~(1)$

$JX=JXJ+J^2X = JXJ+nJX ~~~~(2)$

$(1)$减去$(2)$,有$XJ-JX=n(XJ-JX)$,得到$XJ=JX$

于是有$X=2JX$,得到$(E-2J)X=0$

因为$E-2J$可逆,得到$X=0$

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