高代 不可约多项式的证明

已知f(x)=$\sum_{0}^{n}$${a}_{i}$${x}^{i}$,g(x)=$\sum_{0}^{n}$${a}_{n-i}$${x}^{i}$,其中${a}_{0}$${a}_{n}$≠0,证明 f(x)不可约的充要条件是 g(x)不可约。
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只需证:$f(x)$可约$\Leftrightarrow$ $g(x)$可约。
注意到 $g(x)=x^nf(1/x)$,
则$f(x)$可约
$\Leftrightarrow$ $f(x)=f_1(x)f_2(x)$,其中$f_1(x)$是$n_1$次多项式,$f_2(x)$是$n_2$次多项式,$n_1+n_2=n$。
$\Leftrightarrow$ $f(1/x)=f_1(1/x)f_2(1/x)$,其中$f_1(x)$是$n_1$次多项式,$f_2(x)$是$n_2$次多项式,$n_1+n_2=n$。
$\Leftrightarrow$ $x^nf(1/x)=x^{n_1}f_1(1/x)x^{n_2}f_2(1/x)$,其中$f_1(x)$是$n_1$次多项式,$f_2(x)$是$n_2$次多项式,$n_1+n_2=n$。
(则$x^{n_1}f_1(1/x),x^{n_2}f_2(1/x)$分别是$n_1,n_2$次多项式, 令$g_1(x)=x^{n_1}f_1(1/x),g_2(x)=x^{n_2}f_2(1/x)$。)
$\Leftrightarrow$ $g(x)=g_1(x)g_2(x)$,其中$g_1(x)$是$n_1$次多项式,$g_2(x)$是$n_2$次多项式,$n_1+n_2=n$。
$\Leftrightarrow$ $g(x)$可约 。

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