数学分析证明题

设函数$f(x)$在$(0,+∞)$上二阶连续可导,且满足$f''(x)=\cfrac{{(f(x))}^{2}}{{x}^{2}}+1$,证明

(1):要么$\lim\limits_{x \to {0}^{+}}f(x)$存在有限,要么$\lim\limits_{x \to {0}^{+}}f(x)=+∞$

(2):若$\lim\limits_{x \to {0}^{+}}xf'(x)=0$,则$\lim\limits_{x \to {0}^{+}}f(x)=0$
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浪荡游侠

赞同来自: 数学渣渣 Math001

闲来无事翻了翻哆嗒数学网,热门问题第一题就是这题。看了一下觉得这道题目很有分析的味道,题目本身又不是很难,完全可以靠心算得出,兴致所致,随便写上两笔。

(1)观察:
(a)对于一般具有连续二阶导的函数,这个结论是不一定成立的。比如$f(x)=sin(\frac{1}{x})$ 。所以我们必须利用后面所给的那个条件做更精确的分析。
(b)该条件是以二阶微分方程的形式给出,原则上我们可以解出。所以具有该性质的函数是非常有限的一类函数族。结论应该是对的。

解答:
由于$f''(x)>0$,$f(x)$是凸函数。$f(x)$在$(0,\infty)$上只存在一个或没有最小值点。对于前者,$f(x)$在0附近时单调递减的,故存在一个极限(可能是$+\infty$)。对于后者,$f(x)$的单调性不会发生变化,在0附近也是单调的,故也存在一个极限(可能是$+\infty$)。

(2)观察:
(a)一个自然的思路是继续利用(1)中的凸函数的信息。但是该结论对一般的凸函数并不一定成立,比如$f(x)=x^2+1$是凸函数,也满足(2)中条件,但$f(0)\neq 0$。所以我们需要继续挖掘微分方程的其他信息。
(b)我们想像一下,如果$f(x)\nrightarrow 0$会发生什么?(1)中我们已经证明$f(x)$在0处极限是存在的(可能是$\infty$)。所以我们不妨假设$|f(x)|>C_0$,其中$C_0>0$是一个常数。当$x\rightarrow 0$的时候,根据微分方程$f''(x)\rightarrow \infty$,而且趋近于$\infty$的速度是$O(\frac{1}{x^2})$。也就是说,$f'(x)$在0附近的增长速度非常之快,很可能快于$x$收敛到0的速度,从而引发$xf'(x)\rightarrow 0$这个条件的崩溃。

解答:
根据(1)中结论,$f(x)\rightarrow C_0\in (-\infty,+\infty]$。若$C_0\neq 0$,那么存在$C>0$及$\delta>0$,当$x<\delta$时,$|f(x)|>C$。因而$x<\delta$时,$f''(x)>\frac{C^2}{x^2}+1$。
$\lim\limits_{x \to 0} xf'(x) =\lim\limits_{x\to 0} x \int_0^x f''(t) dt\geq \lim\limits_{x\to 0} x\cdot \frac{C^2}{x^2}x=C^2>0$。
这与$\lim\limits_{x \to 0} xf'(x) =0$矛盾,所以$f(x)=0$。

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