一道级数绝对收敛与函数关系试题

设$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$是数项级数,$f(x)$是定义在$(-\infty, +\infty)$上的函数,使得$f(\frac{1}{n})=a_n, (n=1,2,\ldots)$, 且$f''(x)$在$x=0$点处存在. 证明:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$绝对收敛的充分必要条件是$f(0)=f'(0)=0$.
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Math001

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充分性

如果$f(0)=f'(0)=0$

则$|a_n|=|f(\frac{1}{n})-f(0)| = \dfrac{1}{n}|f'(\xi_n)|=\dfrac{1}{n}|f'(\xi_n)-f'(0)|$,其中$0<\xi_n<\dfrac{1}{n}$

设$f''(0)=A$,若$A\not=0$则

则任取$\epsilon>0$(不妨$\epsilon<|A|$)

有当$n$充分大的时候:$|\dfrac{f'(\xi_n)-f'(0)}{\xi_n}-A|<\epsilon$

得到 $\xi_n(A-\epsilon)<f'(\xi_n)<\xi_n(A+\epsilon)$

得到$|f'(\xi_n)|<\dfrac{|A|}{2}\xi_n<\dfrac{|A|}{2n}$

于是$|a_n|=\dfrac{1}{n}|f'(\xi_n)|<\dfrac{|A|}{2n^2}$,

得到级数的绝对收敛性。

$A=0$,相同讨论,充分性证毕。


必要性用反证法,若$f(0)=K\not=0$,则又连续性,当$n$充分大时:

$|a_n|=|f(\frac{1}{n})-f(0)+f(0)|>|K|-|f(\frac{1}{n})-f(0)|>|K|-\dfrac{|K|}{2}=\dfrac{|K|}{2}$

若$f(0)=0,f'(0)=L\not=0$

则同样由连续性,有当$n$充分大时:

$|a_n|=|f(\frac{1}{n})-f(0)|=\dfrac{1}{n}|f'(\xi_n)-f'(0)+f'(0)|$

$>\dfrac{1}{n}(|f'(0)|-|f'(\xi_n)-f'(0)|)\ge \dfrac{|L|}{2n}$

其中$\xi_n\in(0,\dfrac{1}{n})$

无论怎么样,$|a_n|$不绝对收敛。

证毕。

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