一个级数收敛性的问题

设$\left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty,\ \left\{b_n\right\}_{n=1}^\infty$分别为正数列并且$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\frac{a_n}{b_na_{n+1}}-\frac 1{b_{n+1}}\right)=A>0$. 证明: $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} a_i$存在.
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