一道多项式实根问题

实系数多项式$f(x)=x^4-6x^3+ax^2+bx+2$有$4$个实数根,证明:至少有一个根小于$1$. (大连理工大学2009年研究生试题)
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$假设该多项式的根x_1,x_2,x_3,x_4均大于等于1, x_3x_4\geq1
\\由根与系数关系得到x_1+x_2+x_3+x_4=6,x_1x_2x_3x_4=2
\\不妨设x_1x_2\geq\sqrt{2},x_3x_4\leq\sqrt{2}
\\\Rightarrow x_1+x_2+x_3+x_4=6\geq x_3+x_4+2\sqrt{x_1x_2}\geq x_3+x_4+{2}^{\cfrac{5}{4}}
\\\Rightarrow x_3+x_4\leq 6-{2}^{\cfrac{5}{4}}

\\\Rightarrow {(x_3-x_4)}^{2}={(x_3+x_4)}^{2}-4x_3x_4 \leq {( 6-{2}^{\cfrac{5}{4}}

)}^{2}-4=(2-{2}^{\cfrac{5}{4}})(10-{2}^{\cfrac{5}{4}})<0
\\矛盾,故至少有一根小于1$

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