一题极限的问题

$\lim\limits_{x \to 0}$$\cfrac{{tan}^{-1}{x}^{2}}{x{sin}^{-1}x}$
答案是1,我知道要用L'Hopital's rule,可是还是算不出来
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代数龙

赞同来自: johnny0512 路与知己

解:首先,你需要了解等价无穷小的概念. 其次就是运算技巧,在乘除运算中等价量是可以替换的,在和差运算中替换是需要满足条件的(一般不推荐使用).
\begin{equation} \begin{aligned}\lim_{x\to 0} \frac{\arctan x^2}{x \arcsin x} =\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x\cdot x}=1.\end{aligned}\end{equation}
当$x \to 0$时,有如下等价量
\begin{gather} \arctan x \sim x \\
\arcsin x \sim x \\
\tan x \sim x \\
\sin x \sim x \\
\cos x \sim 1-\frac{1}{2}x^2 \\
\ln (1+x) \sim x \\
e^x -1\sim x \\
a^x-1 \sim x \ln a \\
\log_a(1+x) \sim \frac{x}{\ln a} \\
(1+bx)^c -1 \sim cbx.
\end{gather}
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还好

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用等价无穷小来算

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