一道级数收敛试题

设$a_n$为实数列,已知级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( \frac{a_1+2a_2+3a_3+\cdots+na_n} {n+1}\right)^2$,求证: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收敛. (北京师范大学2009年研究生入学试题)
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