外测度的不等式 (等式)

$A,B$ 是$R^m$,$R^n$ 上的两个集合外测度分别为$m^*A$,$m^*B$, $A,B$ 的笛卡尔积为$A\times B$, $A\times B$的外测度 $m^*(A\times B)=m^*A\cdot m^*B$

等式左边小于等于右边好证 左边大于等于右边似乎需要一些技巧 怎么证明呢
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大于等于,一般用搞一个$\epsilon$的方法。

$A,B$中有一个零测度集合,结论显然。

另外$A,B$都是开长方体,结论也显然(定义就这样)。

不妨$A,B$的外测度都正的。

对于给定$\epsilon>0$,存在分别覆盖$A , B$的开长方体$A_i,B_i$(有限个)

满足$m^*A+\epsilon\ge\sum\limits_{i}A_i~,~m^*B+\epsilon\ge\sum\limits_{i}B_i$

显然$A\times B\subset \bigcup\limits_{i,j} A_i\times B_i$

于是$m^*(A\times B)\le m^*(\bigcup\limits_{i,j} A_i\times B_i)\le\sum\limits_{i,j}m^*(A_i\times B_j)$

$=\sum\limits_{i}m^*A_i\cdot \sum\limits_{j}m^*B_j\le(m^*A+\epsilon)(m^*B+\epsilon)$

不等号的另外一个方向

取$R^m\times R^n$中的开集$U\supset A\times B$,满足

$m^*U<m^*(A\times B)+\epsilon$

对固定$x\in R^m$,有截口$U_x=\{y\in R^n:(x,y)\in U\}\supset B$

而$U$在$R^m$上的投影$\pi(U)\supset A$

利用富比尼定理: $m^*(A\times B)+\epsilon>mU$

$=\int\limits_{\pi(U)}mU_x\ge \int\limits_{\pi(U)}m^*B=m^*B\cdot m\pi(U)\ge m^*B\cdot m^*A$

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