关于正整数n的r部分拆数的生成函数的证明

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代数龙

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在一般的组合数学书中都有整数分拆问题. 记 $P_k(n)$ 为将整数 $n$ 分成 $k$ 个拆分. 有如下定理:设 $k$ 为任意正整数, 令
\begin{equation}P_k(t)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}P_k(n)t^n=\sum\limits_{n=k}^{\infty}P_k(n)t^n \end{equation}
则有
\begin{equation}P_k(t)=t^k\cdot \prod\limits_{i=1}^k(1-t^i)^{-1}. \end{equation}

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