数学分析证明题

已知函数$g\left(x \right)$在闭区间$[ a,b]$上连续,且函数$f\left( x\right)$在$[ a,b]$上满足$f''+gf'=f$,又$f\left(a \right)=f\left( b\right)=0$,证明$f\left(x \right)$在闭区间$[ a,b]$上恒为一常数.
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Math001

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如果$f(x)$不为常数,不妨设$f(x)$有个大于零的函数值。

设$c\in(a,b)$为使得$f(c)$为最大值

则有$f(c)>0,f'(c)=0,f''(c)\le 0$

而带入题设所给等式,有 $0\ge f''(c)=f(c)>0$ 矛盾。

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