R上任意正测度集中是否一定有两相异点距离为有理数

已邀请:

浪荡游侠

赞同来自:

该结论对任意可测集都是对的。

假设存在一个正测度集$B$,其中任意两点距离都不是有理数。$B$在某一$[k,k+1)$上的测度一定为正。否则$m(B)=\sum_k m(B\cap [k,k+1])=0$与$B$测度不为0矛盾。

不妨设$B$在$[0,1]$上测度为正。对任意有理数$q\in \mathbb{Q}\cap [0,1]$,$(B+q)\cap B=\emptyset$且$B+q\in [0,2]$。考虑$A=\cup_{q\in \mathbb{Q}\cap [0,1]}(B+q)$。由于$[0,1]$上的有理数可数,且测度具有平移不变性,$m(A)=\sum_{q\in Q\cap [0,1]} m(B+q)=m(B)\cdot \infty=\infty$。另一方面$A\in [0,2]$,所以$m(A)\leq 2$。矛盾!

因此$\mathbb{R}$上任意正测度集中是否一定有两相异点距离为有理数。
steinhaus定理,周民强100页

要回复问题请先登录注册