证明存在群同构$M\otimes_AN\simeq M\otimes_BN$

设$\rho:A\to B$是环同态,并且$M,N$是$B-\text{module}$.
那么通过一种自然的方式,$\rho$诱导出$M,N$上的一种$A-\text{module}$结构:
$\forall a\in A,y\in M(\text{resp. }N)$,
定义$a\cdot y=\rho(a)y$.
证明:$M\otimes_AN$与$M\otimes_BN$作为群有群同构$M\otimes_AN\simeq M\otimes_BN$.
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月厨

赞同来自: 永進大帝 icesheep

对$b\in B$我们有一个从$M\times N$到$M\otimes_A N$的$A$-双线性映射$(m,n)\mapsto bm\otimes n$.这给出一个$M\otimes_A N$的$A$-模自同态.实际上这给出一个环同态$B→End_A(M\otimes_A N)$.换句话说,$M\otimes_A N$上的一个$B$-模结构.
这时,由$A$-双线性映射$(m,n)\mapsto m\otimes n\in M\otimes_B N$给出一个$A$-模同态$M\otimes_A N\rightarrow M\otimes_B N$;另一面,映射$(m,n)\mapsto m\otimes n\in M\otimes_A N$依第一段定义的$B$-模结构将是$B$-双线性的,从而引起$M\otimes_B N$到$M\otimes_A N$的$B$-模,从而也是$A$-模,同态.
如上构造了两个互逆的$A$-模同态.故所述的两个对象依此方式作为$A$-模同构.

嗓威/qq

赞同来自: 大佬蒋

这种不同构的例子其实很多,atiyah 32页第13题就是,事实上大部分情况下作为A模的这种tensor product要大一些,为什么呢?我是这么想的,首先Ann(M)和Ann(N)作为B模显然要比作为A模要多一些(不妨f就是单射,这种把B看做A代数的情况比较多),其次正如月厨所说b*m,n和m,b*n在不一定等价,只有那些有原像的b才对,所以综合的来看A的这种tensor product一般来说要大一些,不过有意思的是如果A到B有个环同构的话,确实两者作为群是同构的,证明的本质就是我上面说的两点,一个管单射一个管满射。

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